|
|
Hamiltonovské kružnice v hyperkrychlích s odstraněnými vrcholy
Pěgřímek, David ; Gregor, Petr (vedoucí práce) ; Dvořák, Tomáš (oponent)
V roce 2001 Stephen Locke vyslovil hypotézu, že pro každou vyváženou množinu F obsahující 2k vadných vrcholů n-rozměrné hyperkrychle Qn, kde n ≥ k +2 a k ≥ 1, je graf Qn −F hamiltonovský. Hypotéza je stále otevřená, byť jsou již známá částečná řešení, někdy i s různými podmínkami na F. V této práci prozkoumáme hamiltonovskost grafu Qn −F, pokud množina vadných vrcholů F tvoří určitý izometrický podgraf v Qn. Pro lichou (resp. sudou) izometrickou cestu P v Qn je graf Qn − V (P) Hamiltonovsky laceabilní pro každé n ≥ 4 (resp. n ≥ 5). Přestože je znám silnější výsledek, metoda důkazu nám umožnila získat následující výsledky. Nechť C je izometrický cyklus v Qn délky dělitelné čtyřmi pro n ≥ 6. Pak je graf Qn − V (C) Hamiltonovsky laceabilní. Buď T izometrický strom v Qn s lichým počtem hran a S izometrický strom v Qm se sudým počtem hran. Pak pro každé n ≥ 4, m ≥ 5 jsou grafy Qn − T a Qm − S Hamiltonovsky laceabilní. Část důkazu je ověřena počítačem. 1
|
|
|
Rozklady propojovacích sítí na dlouhé cesty
Měkuta, Kryštof ; Gregor, Petr (vedoucí práce) ; Dvořák, Tomáš (oponent)
◆á③❡✈ ♣rá❝❡✿ ❘♦③❦❧❛❞② ♣r♦♣♦❥♦✈❛❝í❝❤ sítí ♥❛ ❞❧♦✉❤é ❝❡st② ❆✉t♦r✿ ❑r②➨t♦❢ ▼➙❦✉t❛ ❑❛t❡❞r❛✿ ❑❛t❡❞r❛ t❡♦r❡t✐❝❦é ✐♥❢♦r♠❛t✐❦② ❛ ♠❛t❡♠❛t✐❝❦é ❧♦❣✐❦② ❱❡❞♦✉❝í ❜❛❦❛❧á➦s❦é ♣rá❝❡✿ ▼❣r✳ P❡tr ●r❡❣♦r✱ P❤✳❉✳✱ ❑❚■▼▲ ❆❜str❛❦t✿ ❱ tét♦ ♣rá❝✐ ❥s♦✉ s❤r♥✉t② ✈❧❛st♥♦st✐ ✈②❜r❛♥ý❝❤ ♣r♦♣♦❥♦✈❛❝í❝❤ sítí✱ ❥✐♠✐➸ ❥s♦✉ ♠♦❞✐✜❦❛❝❡ ❤②♣❡r❦r②❝❤❧❡✳ ❑♦♥❦rét♥➙ st✉❞✉❥❡♠❡ t♦❧❡r❛♥❝✐ ❦ ❝❤②❜á♠ ✈ t③✈✳ ❛✉❣♠❡♥t♦✈❛♥ý❝❤ ❦r②❝❤❧í❝❤ s ♦❤❧❡❞❡♠ ♥❛ ❡①✐st❡♥❝✐ ❤❛♠✐❧t♦♥♦✈s❦ý❝❤ ❦r✉➸♥✐❝✳ ❚❛❦é ♣➦❡❞✈❡❞❡♠❡ ♠❡t♦❞✉ ♣♦✉➸í✈❛❥í❝í ❥❡❞♥♦❞✉❝❤é ♣r♦st➦❡❞❦② ❧✐♥❡ár♥í ❛❧❣❡❜r②✱ ♣♦♠♦❝í ❦t❡ré ❧③❡ ③❦♦♥str✉♦✈❛t ✈❡❧❦é ♠♥♦➸st✈í ♣♦❞❣r❛❢➲ n✲❞✐♠❡♥③✐♦♥á❧♥í ❛✉❣♠❡♥t♦✈❛♥é ❦r②❝❤❧❡ AQn ✐③♦♠♦r❢♥í❝❤ n✲❞✐♠❡♥③✐♦♥á❧♥í ❤②♣❡r❦r②❝❤❧✐ Qn✳ ❉♦❦á➸❡♠❡✱ ➸❡ AQn s f ✈❛❞♥ý♠✐ ❤r❛♥❛♠✐ ♦❜s❛❤✉❥❡ ❦♦♣✐✐ Qn s ♥❡❥✈ý➨❡ n 2n−1 f ✈❛❞♥ý♠✐ ❤r❛♥❛♠✐✳ P♦♠♦❝í t♦❤♦t♦ ✈ýs❧❡❞❦✉ ❥s♠❡ s❝❤♦♣♥✐ ♥➙❦t❡ré ✈❧❛st♥♦st✐ Qn s ✈❛❞♥ý♠✐ ❤r❛♥❛♠✐ ♣➦❡♥ést ♥❛ AQn s ✭✈í❝❡✮ ✈❛❞♥ý♠✐ ❤r❛♥❛♠✐✳ P♦❞♦❜♥ý♠ ③♣➲s♦❜❡♠ t❛❦é ❞♦❦á➸❡♠❡✱ ➸❡ ❥❡st❧✐➸❡ f ≤ 3n − 7 ❛ ❦❛➸❞ý ✈r❝❤♦❧ AQn s♦✉s❡❞í ❛s♣♦➡ s❡ ❞✈➙♠❛ ③❞r❛✈ý♠✐ ❤r❛♥❛♠✐✱ ♣❛❦ AQn ♦❜s❛❤✉❥❡ ❤❛♠✐❧t♦♥♦✈s❦♦✉ ❦r✉➸♥✐❝✐ t✈♦➦❡♥♦✉ ♣♦✉③❡ ③❞r❛✈ý♠✐ ❤r❛♥❛♠✐✳ ◆❛✈í❝ ❞♦❦á➸❡♠❡✱ ➸❡ ❦❛➸❞é ❞✈❛ ♠♦♥♦♠♦r✜s♠② G1 ❞♦ AQn ❛ G2 ❞♦ AQm ❧③❡ s❧♦➸✐t ♥❛ ♠♦♥♦♠♦r✜s♠✉s ❦❛rté③s❦é❤♦ s♦✉↔✐♥✉ G1 G2 ❞♦ AQn+m✳ ❑❧í↔♦✈á s❧♦✈❛✿ ❤②♣❡r❦r②❝❤❧❡✱ ❛✉❣♠❡♥t❡❞ ❝✉❜❡✱ ❤❛♠✐❧t♦♥♦✈s❦é ❦r✉➸♥✐❝❡✱ ✈❛❞♥é ❤r❛✲ ♥②
|
|
|
Genetic Approach To Hypercube Problems
Kuboň, David ; Gregor, Petr (vedoucí práce) ; Pilát, Martin (oponent)
Objektem zájmu práce jsou hyperkrychle. V její první části je představíme coby zajímavou třídu grafů, která má praktické použití v sítích a distribuovaném počítání. Kvůli jejich rozličným aplikacím tato práce popisuje problémy z teorie grafů týkající se hyperkrychlí, jako jsou hledání objížďkových spannerů, minimalizace největšího stuně vrcholu a hledání vícero hranově disjunktních spannerů. Práce též podává přehled aktuálních výsledků pro některé hyperkrychové problémy a navrhuje jejich řešení pomoc genetického algoritmu. Genetický algoritmus je navržem, implementován a jeho výkon je vyhodnocen. Závěrem je, že aplikace genetického algoritmu na některý hyperkrychlový problém je možná, ale nikoli nejeefektivnější metoda.
|
|
|
Konstrukce Grayových kódů se speciálními vlastnostmi
Novotný, Tomáš ; Dvořák, Tomáš (vedoucí práce) ; Fink, Jiří (oponent)
(Cyklický) Grayův kód řádu n je (cyklická) posloupnost všech n- bitových řetězců, v nichž se sousední řetězce liší vždy v jediném bitu. Ruskey a Savage v roce 1993 publikovali otázku, zdali lze každé párování v hyperkrychli rozšířit na cyklický Grayův kód. Problém je stále otevřený, pozitivní řešení je však známo pro každé perfektní párování (Fink, 2007). Hlavním výsledkem práce je zobecnění Finkova výsledku na Grayův kód s předepsanými koncovými vrcholy. Charakterizace takto rozšiřitelných perfektních párování je pro n = 5 ověřena na počítači, tento výsledek slouží jako báze induktivního důkazu tvrzení pro vyšší dimenze. Druhá část práce se soustředí na problém maximálních párování v hy- perkrychlích co nejmenší velikosti, která jsou perspektivním kandidátem na ne- gativní řešení problému Ruskey-Savage. Je zde navržena nová metoda, která dává především pro malé dimenze párování menší velikosti nežli klasická asymptoticky optimální konstrukce (Forcade, 1973). Upravený program z první části je následně využit k testování problému Ruskey-Savage pro tato párování, rozšiřující Grayův kód je však vždy nalezen. 1
|
|
|
Hamiltonicity of hypercubes without k-snakes and k-coils
Pěgřímek, David ; Gregor, Petr (vedoucí práce) ; Fink, Jiří (oponent)
Had (cívka) je indukovaná cesta (cyklus) v hyperkrychli. Jsou známí především problé- mem hada v krabici (cívky v krabici) snažící se najít nejdelšího hada (cívku) v hyperkrychli. Jejich zobecnění k-hadi (k-cívky) zachovávají vzdálenosti mezi každými dvěma svými vr- choly, které jsou vzdálené nejvýše k−1 v hyperkrychli. Studujeme je v souvislosti s Lockeho hypotézou. Ta říká, že vyvážené množině F ⊆ V (Qn) vadných vrcholů v hyperkrychli veli- kosti 2m se lze vyhnout Hamiltonovským cyklem pokud n ≥ m+2 a m ≥ 1. My ukazujeme, že pokud S je k-had (k-cívka) pro n ≥ k ≥ 6 (n ≥ k ≥ 7), pak Qn −V (S) je Hamiltonovsky laceabilní. Pro fixované k může být počet vrcholů k-cívky až exponenciální vzhledem k n. Představujeme pojem draka, což je indukovaný strom v hyperkrychli a jeho zobecnění na k-draka, který zachovává vzdálenost mezi každými dvěma svými vrcholy, které jsou vzdá- lené nejvýše k − 1 v hyperkrychli. Dokazujeme specifické lemma které bylo v Bakalářské práci pouze ověřeno počítačem a dokončuje tak důkaz tvrzení o Hamiltonovské laceabilitě hyperkrychlí bez n-draků.
|
|
|
Hamiltonovské kružnice v hyperkrychlích s odstraněnými vrcholy
Pěgřímek, David ; Gregor, Petr (vedoucí práce) ; Dvořák, Tomáš (oponent)
V roce 2001 Stephen Locke vyslovil hypotézu, že pro každou vyváženou množinu F obsahující 2k vadných vrcholů n-rozměrné hyperkrychle Qn, kde n ≥ k +2 a k ≥ 1, je graf Qn −F hamiltonovský. Hypotéza je stále otevřená, byť jsou již známá částečná řešení, někdy i s různými podmínkami na F. V této práci prozkoumáme hamiltonovskost grafu Qn −F, pokud množina vadných vrcholů F tvoří určitý izometrický podgraf v Qn. Pro lichou (resp. sudou) izometrickou cestu P v Qn je graf Qn − V (P) Hamiltonovsky laceabilní pro každé n ≥ 4 (resp. n ≥ 5). Přestože je znám silnější výsledek, metoda důkazu nám umožnila získat následující výsledky. Nechť C je izometrický cyklus v Qn délky dělitelné čtyřmi pro n ≥ 6. Pak je graf Qn − V (C) Hamiltonovsky laceabilní. Buď T izometrický strom v Qn s lichým počtem hran a S izometrický strom v Qm se sudým počtem hran. Pak pro každé n ≥ 4, m ≥ 5 jsou grafy Qn − T a Qm − S Hamiltonovsky laceabilní. Část důkazu je ověřena počítačem. 1
|
|
|
Rozklady propojovacích sítí na dlouhé cesty
Měkuta, Kryštof ; Gregor, Petr (vedoucí práce) ; Dvořák, Tomáš (oponent)
◆á③❡✈ ♣rá❝❡✿ ❘♦③❦❧❛❞② ♣r♦♣♦❥♦✈❛❝í❝❤ sítí ♥❛ ❞❧♦✉❤é ❝❡st② ❆✉t♦r✿ ❑r②➨t♦❢ ▼➙❦✉t❛ ❑❛t❡❞r❛✿ ❑❛t❡❞r❛ t❡♦r❡t✐❝❦é ✐♥❢♦r♠❛t✐❦② ❛ ♠❛t❡♠❛t✐❝❦é ❧♦❣✐❦② ❱❡❞♦✉❝í ❜❛❦❛❧á➦s❦é ♣rá❝❡✿ ▼❣r✳ P❡tr ●r❡❣♦r✱ P❤✳❉✳✱ ❑❚■▼▲ ❆❜str❛❦t✿ ❱ tét♦ ♣rá❝✐ ❥s♦✉ s❤r♥✉t② ✈❧❛st♥♦st✐ ✈②❜r❛♥ý❝❤ ♣r♦♣♦❥♦✈❛❝í❝❤ sítí✱ ❥✐♠✐➸ ❥s♦✉ ♠♦❞✐✜❦❛❝❡ ❤②♣❡r❦r②❝❤❧❡✳ ❑♦♥❦rét♥➙ st✉❞✉❥❡♠❡ t♦❧❡r❛♥❝✐ ❦ ❝❤②❜á♠ ✈ t③✈✳ ❛✉❣♠❡♥t♦✈❛♥ý❝❤ ❦r②❝❤❧í❝❤ s ♦❤❧❡❞❡♠ ♥❛ ❡①✐st❡♥❝✐ ❤❛♠✐❧t♦♥♦✈s❦ý❝❤ ❦r✉➸♥✐❝✳ ❚❛❦é ♣➦❡❞✈❡❞❡♠❡ ♠❡t♦❞✉ ♣♦✉➸í✈❛❥í❝í ❥❡❞♥♦❞✉❝❤é ♣r♦st➦❡❞❦② ❧✐♥❡ár♥í ❛❧❣❡❜r②✱ ♣♦♠♦❝í ❦t❡ré ❧③❡ ③❦♦♥str✉♦✈❛t ✈❡❧❦é ♠♥♦➸st✈í ♣♦❞❣r❛❢➲ n✲❞✐♠❡♥③✐♦♥á❧♥í ❛✉❣♠❡♥t♦✈❛♥é ❦r②❝❤❧❡ AQn ✐③♦♠♦r❢♥í❝❤ n✲❞✐♠❡♥③✐♦♥á❧♥í ❤②♣❡r❦r②❝❤❧✐ Qn✳ ❉♦❦á➸❡♠❡✱ ➸❡ AQn s f ✈❛❞♥ý♠✐ ❤r❛♥❛♠✐ ♦❜s❛❤✉❥❡ ❦♦♣✐✐ Qn s ♥❡❥✈ý➨❡ n 2n−1 f ✈❛❞♥ý♠✐ ❤r❛♥❛♠✐✳ P♦♠♦❝í t♦❤♦t♦ ✈ýs❧❡❞❦✉ ❥s♠❡ s❝❤♦♣♥✐ ♥➙❦t❡ré ✈❧❛st♥♦st✐ Qn s ✈❛❞♥ý♠✐ ❤r❛♥❛♠✐ ♣➦❡♥ést ♥❛ AQn s ✭✈í❝❡✮ ✈❛❞♥ý♠✐ ❤r❛♥❛♠✐✳ P♦❞♦❜♥ý♠ ③♣➲s♦❜❡♠ t❛❦é ❞♦❦á➸❡♠❡✱ ➸❡ ❥❡st❧✐➸❡ f ≤ 3n − 7 ❛ ❦❛➸❞ý ✈r❝❤♦❧ AQn s♦✉s❡❞í ❛s♣♦➡ s❡ ❞✈➙♠❛ ③❞r❛✈ý♠✐ ❤r❛♥❛♠✐✱ ♣❛❦ AQn ♦❜s❛❤✉❥❡ ❤❛♠✐❧t♦♥♦✈s❦♦✉ ❦r✉➸♥✐❝✐ t✈♦➦❡♥♦✉ ♣♦✉③❡ ③❞r❛✈ý♠✐ ❤r❛♥❛♠✐✳ ◆❛✈í❝ ❞♦❦á➸❡♠❡✱ ➸❡ ❦❛➸❞é ❞✈❛ ♠♦♥♦♠♦r✜s♠② G1 ❞♦ AQn ❛ G2 ❞♦ AQm ❧③❡ s❧♦➸✐t ♥❛ ♠♦♥♦♠♦r✜s♠✉s ❦❛rté③s❦é❤♦ s♦✉↔✐♥✉ G1 G2 ❞♦ AQn+m✳ ❑❧í↔♦✈á s❧♦✈❛✿ ❤②♣❡r❦r②❝❤❧❡✱ ❛✉❣♠❡♥t❡❞ ❝✉❜❡✱ ❤❛♠✐❧t♦♥♦✈s❦é ❦r✉➸♥✐❝❡✱ ✈❛❞♥é ❤r❛✲ ♥②
|
host ::
RSS.